Les maths pour prédire l’écoulement des eaux

De plus fortes précipitations par endroits, une aridité plus importante à d’autres, la redistribution des cartes liée aux variations climatiques promet de ne pas être égalitaire. La fréquence des pluies et de leur évaporation partielle, la nature des sols et leur utilisation, et en bout de course, l’écoulement des eaux vers les rivières, autant de paramètres qui seront chamboulés. Ils amorceront une chaîne de cause à effet influençant le débit de nos rivières, le rendement industriel, l’agriculture ou encore la gestion des eaux, des zones inondables ou des périodes de sécheresse. Pouvoir prédire ces évolutions devient un enjeu de taille pour l’hydrologie. Pourtant, chaque bassin versant répond à des caractéristiques qui lui sont propres et qui influencent singulièrement le cycle de l’eau. La modélisation de ces écosystèmes exige pour sa calibration des récoltes de données faramineuses. Un autre chemin pourrait mener à la prédiction des comportements des bassins versants du monde entier tout en évitant les grandes et fastidieuses récoltes de terrain. Cette réponse « universelle » pourrait se trouver dans une simple équation, le principe d’optimalité de puissance maximale. L’intuition est audacieuse, mais empiriquement, la nature tend à lui répondre favorablement. Pour le dire autrement, rien ne prouve jusqu’ici que ça ne marche pas.

Une fois tombées sur les bassins versants, les eaux de pluie ont principalement trois chemins possibles. Soit elles s’évaporent, soit elles s’écoulent vers les rivières, soit elles s’infiltrent dans les sols. Trois routes empruntées dans des proportions qui évoluent selon la température, la fréquence des précipitations et les propriétés des bassins (nature et recouvrement des sols, présence de végétation, etc.). Autant de facteurs naturellement influencés par les variations météorologiques. Or, le réchauffement climatique va exacerber certaines tendances déjà inégales. Les pluies vont s’intensifier dans des régions où elles sont déjà importantes et se raréfier là où les sécheresses sévissent sans merci. Ces évolutions auront des conséquences hydrologiques et environnementales importantes, principalement par le biais de la modification du débit des rivières. Des hauts débits plus extrêmes augmenteront les risques d’inondation. A l’inverse, des débits moins importants limiteront l’accès à l’eau potable, les possibilités d’agriculture, ou encore l’exploitation industrielle et la navigation. « Dès lors, la question est de parvenir à déterminer l’impact du réchauffement climatique sur les bassins versants et sur le débit des rivières, avance Martijn Westhoff, post-doctorant à l’unité HECE (Hydraulics in Environmental and Civil Engineering) de la Faculté des sciences appliquées de l’Université de Liège et premier auteur de l’article publié dans Hydrology and Earth System Sciences (HESS)(1). Pour cela, on crée habituellement des modèles calibrés à l’aide de données prélevées sur le terrain. On peut ensuite modifier certaines variables et simuler les modifications d’écoulement des eaux. Mais ces modèles ont des limites importantes. La plupart d’entre eux ne considèrent que les variations de précipitation et de température. Ils ne tiennent pas compte de l’évolution des propriétés des bassins versants. » Pourtant, les changements dans la structure des sols, mais aussi au niveau de leur couverture (présence d’une végétation luxuriante, etc.) vont avoir un impact important sur l’évaporation et sur l’infiltration, donc sur l’écoulement. « Le problème principal de ces modèles complexes réside dans leur calibration, développe Benjamin Dewals, chargé de cours en ingénierie hydraulique à l’ULg et coauteur de la publication. Pour qu’ils soient fidèles à la réalité, ils doivent être extrêmement détaillés. Il faut pour cela récolter une énorme quantité de données sur plusieurs années pour les intégrer aux modèles et ensuite seulement entamer les simulations. Et pour beaucoup de bassins versants, parfois difficiles d’accès, nous n’avons que très peu de mesures. Or, il y a un besoin réel de prédire leur évolution pour les prochaines décennies. Et les modèles hydrologiques sont les seuls outils permettant d’évaluer les risques d’inondation ou de sécheresse, ou d’améliorer la gestion de la qualité des eaux en fonction de leur débit. »

Du détail à l’universel

Certes, l’élaboration d’un modèle complexe et détaillé, capable de reproduire tous les processus en tenant compte de paramètres innombrables comme les types de végétations, l’érosion ou la nature chimique des sols est un horizon séduisant. Mais l’approche est fastidieuse, et Martijn Westhoff a choisi une seconde option, complémentaire, qui perdra en précision, mais qui semble plus réaliste à l’heure actuelle. « L’idée est de chercher un modèle offrant une compréhension et des réponses plus globales, résume l’ingénieur. Il n’est plus question d’étudier les particularités de chaque bassin versant et leurs réponses singulières, ou l’évolution de chaque plante en fonction d’une hausse de température, mais plutôt de dégager un principe général, « universel », vers lequel tendrait la nature. Un principe que va suivre chaque bassin versant pour s’adapter aux éventuels changements. »

Ce principe n’a pas encore été trouvé à l’heure actuelle, mais plusieurs hypothèses coexistent. Martijn Westhoff, lui, s’est penché sur un cas en particulier, le principe de puissance maximale, qui prédit que la nature, malgré ses nombreuses réponses complexes, tend à un état de transfert optimum de puissance en fonction des énergies et des résistances présentes dans le système. « Il y aurait donc, dans le cas de l’écoulement des eaux, un état optimal en fonction de la température, des précipitations, du sol, etc. En réponse à certaines variations, le bassin versant s’adapterait et évoluerait jusqu’à atteindre cet état. » Ce principe n’a pas été choisi au hasard, mais bien parce qu’il a déjà fonctionné dans d’autres contextes. Il s’agit malgré tout dans le cas de l’hydrologie d’une hypothèse. D’une théorie qui n’est pas encore démontrée en pratique, mais qui permet d’orienter le regard du chercheur. En couplant des analyses de données de bassins versants du monde entier et des études d’échantillons en laboratoire, il vérifie maintenant si la nature répond aux prévisions de ce principe.

Le principe de puissance maximale en thermodynamique

Un bon moyen pour comprendre ce principe de puissance maximale est de remonter à sa source. En 1979, le physicien atmosphérique australien Garth Paltridge l’énonce pour expliquer les transferts de chaleur dans l’atmosphère. Son modèle peut être décrit sur base de deux ensembles, deux blocs schématisés. L’équateur d’un côté, et les pôles de l’autre. L’équateur est davantage soumis aux radiations solaires et emmagasine plus de chaleur que les pôles. Une partie de cette chaleur repart vers l’espace. S’il y avait en effet une conservation de cet apport d’énergie dans le système, la température sur Terre monterait en flèche, continuellement. La chaleur qui reste, elle, est redistribuée vers les pôles par toute une série de mécanismes, les vents, notamment. Paltridge n’a pas cherché à comprendre ces mécanismes dans le détail, mais plutôt à quantifier le transfert d’énergie qui en résultait. Cette mesure devait lui permettre de vérifier la proposition de son principe, qui avançait que la puissance associée au transfert de chaleur de l’équateur vers les pôles était naturellement et continuellement optimale. Mais encore ?

« Sur un graphique, explique Benjamin Dewals, l’axe des abscisses représente la facilité du mélange de chaleur, et les ordonnées la puissance du transfert. Dans le cas extrême d’une très forte résistance, au point zéro, il n’y aurait aucun transfert de chaleur, donc aucun déploiement d’énergie. Les deux blocs, équateur et pôles, garderaient un grand différentiel de température et ne communiqueraient pas. A l’inverse, s’il n’y avait aucune résistance, la chaleur serait instantanément distribuée de manière homogène à l’équateur et aux pôles. Or, c’est entre autres parce qu’il y a une différence de température qu’un transfert continu est possible. Si la température était égale partout, il n’y aurait donc là non plus aucun transfert d’énergie, état qui correspond au point un sur l’axe des abscisses. Entre zéro et un, toute une série de possibles conditionnent la puissance de ce transfert de chaleur. » Quelque part dans ces intermédiaires, une résistance liée à un certain différentiel de température va permettre une puissance maximale du transfert de chaleur. Dans la théorie, le principe prédit que l’atmosphère va naturellement tendre vers cet équilibre qui conditionne ce déploiement optimal d’énergie. Et les mesures prises depuis corroborent cette prévision.

Ce n’est pas la seule observation dans la nature à avoir rencontré les prédictions de ce principe. Il y en a eu d’autres, comme la circulation verticale de la chaleur depuis la surface vers l’atmosphère. « Imaginons, poursuit Martijn Westhoff, une pièce dans laquelle se trouve une bassine d’eau. Quand l’eau s’évapore, la température de la pièce diminue proportionnellement. Car cette transformation de phase, de l’état liquide à l’état gazeux, coûte en énergie et se traduit en une dépense de chaleur. Une perte qui rééquilibre la distribution de chaleur verticalement. Cette observation permet notamment de prédire l’évaporation d’un milieu aqueux en ne prenant que très peu de mesures. » Le principe fonctionne donc pour l’atmosphère, pour d’autres systèmes encore, mais comment vérifier sa capacité à prévoir l’écoulement des bassins versants ? « Sur un graphique, explique Benjamin Dewals, l’axe des abscisses représente la facilité du mélange de chaleur, et les ordonnées la puissance du transfert. Dans le cas extrême d’une très forte résistance, au point zéro, il n’y aurait aucun transfert de chaleur, donc aucun déploiement d’énergie. Les deux blocs, équateur et pôles, garderaient un grand différentiel de température et ne communiqueraient pas. A l’inverse, s’il n’y avait aucune résistance, la chaleur serait instantanément distribuée de manière homogène à l’équateur et aux pôles. Or, c’est entre autres parce qu’il y a une différence de température qu’un transfert continu est possible. Si la température était égale partout, il n’y aurait donc là non plus aucun transfert d’énergie, état qui correspond au point un sur l’axe des abscisses. Entre zéro et un, toute une série de possibles conditionnent la puissance de ce transfert de chaleur. » Quelque part dans ces intermédiaires, une résistance liée à un certain différentiel de température va permettre une puissance maximale du transfert de chaleur. Dans la théorie, le principe prédit que l’atmosphère va naturellement tendre vers cet équilibre qui conditionne ce déploiement optimal d’énergie. Et les mesures prises depuis corroborent cette prévision.

Ce n’est pas la seule observation dans la nature à avoir rencontré les prédictions de ce principe. Il y en a eu d’autres, comme la circulation verticale de la chaleur depuis la surface vers l’atmosphère. « Imaginons, poursuit Martijn Westhoff, une pièce dans laquelle se trouve une bassine d’eau. Quand l’eau s’évapore, la température de la pièce diminue proportionnellement. Car cette transformation de phase, de l’état liquide à l’état gazeux, coûte en énergie et se traduit en une dépense de chaleur. Une perte qui rééquilibre la distribution de chaleur verticalement. Cette observation permet notamment de prédire l’évaporation d’un milieu aqueux en ne prenant que très peu de mesures. » Le principe fonctionne donc pour l’atmosphère, pour d’autres systèmes encore, mais comment vérifier sa capacité à prévoir l’écoulement des bassins versants ?

Une démarche empirique pour éprouver l’hypothèse

Comme dans le cas des analogies avec l’atmosphère, il n’est pas question d’entrer dans les détails, dans les mécanismes qui facilitent ou restreignent les transferts d’eau (pente, sol, érosion, végétation etc.), mais d’envisager la dynamique dans sa globalité. L’angle est donc large, et la méthode empirique. Les chercheurs ont récolté et comparé les valeurs moyennes de répartition des pluies (évaporation, ruissellement, infiltration) de bassins versants du monde entier (d’Amérique, d’Afrique, de données plus locales aussi, comme celles de l’Ourthe), pour chercher à vérifier si ces répartitions correspondaient ou non à ce maximum. Une méthode secondée par un travail de laboratoire. « Le principe se veut universel, justifie Benjamin Dewals. Qu’il soit vérifié sur de grands espaces, c’est une chose, mais il doit aussi pouvoir s’observer à de très petites échelles. Nous avons donc expérimenté l’écoulement des eaux sur de petits échantillons d’un demi-mètre cube de sol. » Une telle démarche a permis d’observer de manière très détaillée la répartition des flux, en cherchant à vérifier une fois de plus si oui ou non cette répartition s’opère de sorte que la puissance soit maximisée.

Une énigme non résolue depuis un demi-siècle

A la fin des années 1960, un climatologue russe du nom de Mikhail Budyko a observé les évaporations d’une grande série de bassins versants pour les replacer sur un graphique selon deux unités de mesure. L’évaporation divisée par le total des précipitations sur l’axe vertical, et le potentiel d’évaporation maximum sur l’axe horizontal. En d’autres mots, si l’eau était disponible à l’infini, cet axe représenterait ce qui pourrait être évaporé selon la radiation solaire. « Le champ des possibles est contraint par deux asymptotes. D’un côté, l’évaporation peut se rapprocher à un niveau infinitésimal de la quantité totale de précipitation, mais ne pourra jamais la dépasser. Il ne peut pas y avoir plus d’évaporation qu’il n’y a d’eau. Sur l’autre axe, l’évaporation ne pourra être plus importante que ce que permet l’énergie thermique du soleil. »

Mikhail Budyko a donc représenté par des points la moyenne des données de chacun des bassins versants étudiés. Ces points placés sur le graphique ont progressivement dessiné une courbe, qui porte aujourd’hui le nom du chercheur. Ce qu’il y a d’étonnant, c’est que ces points s’agrègent autour de cette courbe, qui en outre se situe relativement proche des deux asymptotes. Comme expliqué ci-dessus, il est normal qu’aucun point ne se retrouve au-delà des deux asymptotes. « Mais la grande question qui se pose, intervient Martijn Westhoff, c’est pourquoi il n’y a aucun point présent dans l’espace situé entre la courbe et l’axe horizontal. Théoriquement, c’est tout à fait possible. On pourrait observer des bassins versants de tous types, qui rencontrent des propriétés d’évaporation très hétérogènes, et qui ne se retrouveraient pas sur cette courbe. »

Aujourd’hui, personne n’est encore parvenu à expliquer pourquoi les propriétés d’évaporation des bassins versants s’alignent aussi nettement. C’est précisément la raison pour laquelle le jeune ingénieur civil a avancé le principe de puissance maximum comme élément de réponse. « Et en imposant mathématiquement les contraintes liées aux asymptotes et en appliquant ce principe d’optimalité, on a retrouvé pour nos bassins versants la courbe de Budyko, se réjouissent les deux chercheurs. Il y a donc a priori une cohérence entre ce principe et nos observations, que l’on doit continuer d’éprouver. »

En s’attardant sur le graphique de Budyko, l’observateur remarque toutefois assez rapidement que les points constituent davantage une nébuleuse plutôt qu’un alignement selon une courbe unique. Les hypothèses avancées s’orientaient jusqu’ici vers la couverture du sol. La présence plus ou moins importante de forêts, par exemple, devait avoir une incidence sur le taux d’évaporation. Mais ces hypothèses n’ont jusqu’ici jamais été concluantes. « Dans notre modèle mathématique, nous avons exploré d’autres pistes. Dans un premier temps, nous avons testé d’imposer les asymptotes dans une situation de pluie constante. Une schématisation de la réalité pour simplifier nos calculs et déjà vérifier si nous allions dans la bonne direction. Mais une région où il pleut de manière continue n’existe pas. Nous avons donc introduit une dynamique saisonnière de pluie et de température pour simuler des périodes pluvieuses et des périodes plus ensoleillées, où l’évaporation variait en fonction. » Sitôt cette dynamique intégrée dans le modèle, les résultats se sont sensiblement rapprochés de cette nébuleuse. Ce qui pourrait signifier que les légères variations autour de la courbe de Budyko peuvent être expliquées par les modifications de précipitations et de températures, conformément aux corrélations entre la couverture du sol et les variables climatiques.

Retour de l’universel au détail

L’outil, rapprochant la courbe de Budyko au principe de puissance maximale, pourrait donc permettre de mieux prédire l’évaporation des bassins versants. Malgré tout, il n’est pas encore opérationnel. Chaque point du graphique correspond à la moyenne des précipitations et des évaporations d’un bassin versant sur plusieurs années. La résolution dans le temps et dans l’espace manque cruellement de précision. « Notre publication n’est qu’une étape. Si nous parvenons à vérifier que le principe est correct, nous pourrons l’appliquer à plus petite échelle, en tenant compte de la dynamique réelle de chaque région, d’événements particuliers, etc. » Une seconde lacune pour le moment tient dans le fait que le modèle ne permet de prédire qu’une des trois données relatives au circuit des précipitations, l’évaporation. Avec deux inconnues, impossible à l’heure actuelle de déterminer la part d’écoulement et la part d’infiltration. Difficile, donc, de prédire l’impact des variations climatiques sur l’approvisionnement des rivières en eau de pluie.

D’une pierre deux coups

Outre l’envie de démontrer le caractère universel du principe, c’est précisément pour pallier ces deux approximations que les chercheurs mènent une série d’expériences en laboratoire, à de très petites échelles. Ces échantillons de sols offrent la possibilité d’observer en détail leur fonctionnement, et donc l’écoulement, en plus de l’évaporation. L’expérience, assez simple, n’est autre qu’un analogue hydrologique des transferts atmosphériques de chaleur entre l’équateur et les pôles.

Deux réservoirs sont placés l’un à côté de l’autre et sont séparés par un échantillon de sol long d’un mètre et demi. Seul le réservoir de gauche est alimenté en eau, par le haut, pour simuler la pluie. En bas, sur les bords extérieurs des deux réservoirs, un robinet permet de simuler la perte naturelle des eaux (évaporation et infiltration). L’équivalent de l’énergie thermique rediffusée vers l’espace et dont l’apport n’est pas conservé dans le système atmosphérique. Au début de l’expérience, l’eau se heurte à un sol compact. Une résistance élevée empêche le déploiement d’une puissance de transfert maximale. Comme dans l’atmosphère, des mécanismes vont atténuer cette résistance. Pas question ici de vents ou de propriétés propres à l’air. Les processus sont différents. « L’un d’eux, que nous cherchons à imiter dans cette expérience, est l’érosion. L’eau va peu à peu déplacer les grains du sol et creuser des galeries. Plus ces artères seront larges, plus le transfert vers l’autre réservoir se fera rapidement, plus il y aura une puissance de transfert importante. A l’inverse, si ces galeries deviennent trop grandes, la résistance finit par devenir presqu’inexistante. Le niveau d’eau s’équilibre progressivement entre les deux bassins et le débit diminue jusqu’à s’arrêter totalement. Entre les deux extrêmes, à un moment donné, il existe une situation où l’écoulement atteint une puissance maximum. La finalité de l’expérience est de vérifier si, comme le prédit le principe d’optimalité, ces mécanismes d’érosion cessent d’évoluer au moment où le système se rapproche de cet état. »

Actuellement, les résultats sont prometteurs, mais les expériences doivent être poursuivies pour éviter tout biais possible. Si la démarche évolue pour rencontrer systématiquement les prédictions du principe de puissance maximum, les chercheurs obtiendront un élément supplémentaire de preuve que leur hypothèse fonctionne. Plus encore, ils pourront développer un moyen d’analyser en détail et sur de petits échantillons les réalités très précises de bassins versants au cas par cas, et combiner l’évaluation de deux des trois transferts d’eaux de pluies. L’évaporation d’un côté, à l’aide de la courbe de Budyko, et l’écoulement de l’autre, suite aux expériences de laboratoire. « Dès lors, nous serons en mesure de prédire l’évolution  des évaporations et des écoulements d’eau de pluie, mais aussi d’infiltration, puisqu’il nous suffira de soustraire aux précipitations totales l’évaporation et l’écoulement pour obtenir l’infiltration. Le travail méthodologique et théorique sera encore long, mais on pourra alors envisager d’avancer du fondamental vers une application pratique du modèle. »

(1) Westhoff, M., Zehe, E., Archambeau, P., and Dewals, B.: Does the Budyko curve reflect a maximum-power state of hydrological systems? A backward analysis, in Hydrology and Earth System Sciences, 20, 479-486, doi:10.5194/hess-20-479-2016, 2016.